Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{y + 1}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $y + 1$ dari $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah $y^{2}$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Langkah 3.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Langkah 3.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Langkah 3.2.1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Langkah 3.2.1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Langkah 3.2.1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

Langkah 3.2.1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

Langkah 3.2.1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 3.2.1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.5

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 3.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C_{5}$ sebagai $- \frac{1}{x} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$