Kalkulus Contoh

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

Langkah 1.2

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x (x y - 2)$ terhadap $y$ adalah $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Langkah 1.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

Langkah 1.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

Langkah 1.7

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

Langkah 1.8

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

Langkah 1.9

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

Langkah 1.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

Langkah 1.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

Langkah 1.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

Langkah 5.2

Perluas $x (x y - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

Langkah 5.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $x$ dan $- 2$ .

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

Langkah 5.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

Langkah 5.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

Langkah 5.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

Langkah 5.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

Langkah 5.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

Langkah 5.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

Langkah 5.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

Langkah 5.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Langkah 5.8

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

Langkah 5.9

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.2.1.2

Gabungkan $\frac{y}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{x^{3}}{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y x^{3}}{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.5

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.6

Kalikan $\frac{x^{3}}{3}$ dengan $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.7

Tambahkan $\frac{x^{3}}{3}$ dan $0$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.3.9.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{3} + 2 y - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Langkah 10

Temukan $2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{y}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Langkah 12.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$