Kalkulus Contoh

$3 x (y^{2} + 1) d x + y (x^{2} + 2) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $3 x (y^{2} + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (x^{2} + 2) d y = - 3 x (y^{2} + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (y (x^{2} + 2)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $y (x^{2} + 2)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{y^{2} + 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $y^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y^{2} + 1$ dari $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 2} x d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 3}{x^{2} + 2}$ dan $x$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 2$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.4.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| x^{2} + 2 |)$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 2 |) \cdot 3}{2} + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (| x^{2} + 2 |)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2$

Langkah 5.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |) = 2 C$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan $3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3})} = e^{2 C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$

Langkah 5.7.2

Bagi setiap suku pada $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ dengan ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Bagilah setiap suku di $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ dengan ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Langkah 5.7.2.2.1.2

Bagilah $| y^{2} + 1 |$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Langkah 5.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Langkah 5.7.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1$

Langkah 5.7.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$