Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 3 y + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - 3 y) + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 3) + 1 (x - 3)}{x y + 2 y - x - 2}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{x y + 2 y - x - 2}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x y + 2 y) - x - 2}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{y (x + 2) - (x + 2)}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y - 1}{y + 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} (\frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{x - 3}{x + 2}$ dengan $\frac{y + 1}{y - 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y - 1$ dari $(x + 2) (y - 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{x + 2}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y + 1$ dari $(x - 3) (y + 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

Langkah 1.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

Langkah 1.5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y - 1}{y + 1} d y = \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $y - 1$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	-	$1$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$
					-	$2$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{y + 1} d y) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.7

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.7.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.8

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.9

Sederhanakan.

$y - 2 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.10

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $x - 3$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x$

$3$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$3$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$2$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$
					-	$5$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.7

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 2.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 2$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C$