Kalkulus Contoh

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = (x^{2} - x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $- x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $- x^{2}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{3} - x^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Gabungkan $2 K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.3

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.4.1

Pindahkan $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8

Kalikan $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.9.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.9.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.9.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.9.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.9.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.9.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.9.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.9.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.10

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$