Kalkulus Contoh

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Langkah 2

Biarkan $v = y^{2}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Langkah 3

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2 y$ dari $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Langkah 4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Langkah 5

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $v$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Langkah 5.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Langkah 5.3.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Langkah 5.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Langkah 5.4.2.5

Bagilah $- 2 x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Langkah 5.5

Faktorkan $v$ dari $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Langkah 5.6

Susun kembali $v$ dan $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Langkah 6

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 6.2

Integralkan $\frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 6.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 6.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 6.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 6.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 7

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $\frac{v}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Langkah 7.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 7.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Langkah 7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Langkah 7.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Langkah 8

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Langkah 9

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Langkah 10

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Langkah 11

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 11.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Langkah 12

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Langkah 12.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Langkah 12.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = (- x^{2} + C) x$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Sederhanakan $(- x^{2} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = - x^{2} x + C x$

Langkah 12.3.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Langkah 12.3.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Langkah 12.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Langkah 12.3.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Langkah 14

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Langkah 14.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3} + C x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Langkah 14.2.2

Faktorkan $x$ dari $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Langkah 14.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Langkah 14.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Langkah 14.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Langkah 14.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$