Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y = 2 x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2 x e^{- x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2 x e^{- x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 x e^{- x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int 2 x e^{- x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = 2 \int x e^{- x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 6.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.4.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 6.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 6.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Langkah 6.8

Tulis kembali $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ sebagai $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Langkah 6.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.6.1

Tulis kembali $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ sebagai $- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C}{e^{- x}}$