Kalkulus Contoh

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Karena $6 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y (2 x - 3)$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Langkah 2.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 y = 2 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = y (2 x - 3)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2 x - 3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 x - 3$ keluar dari integral.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.3

Tulis kembali $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.2

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.9

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.3.11.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Langkah 10

Temukan $6 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Langkah 10.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.6

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.8

Susun kembali faktor-faktor dari $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.9

Gabungkan $y^{2} x$ dan $- \frac{3 y^{2}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.9.1

Susun kembali $y^{2}$ dan $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.9.2

Untuk menuliskan $x y^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.9.3

Gabungkan $x y^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.10.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.10.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.10.1.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.10.1.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.1.10.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $3 x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $3 x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.5.3

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.5.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$