Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 3 x^{2} e^{- 3 x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (3 x^{2} e^{- 3 x})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (3 x^{2} e^{- 3 x})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} (x^{2} e^{- 3 x})$

Langkah 2.4

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $e^{- 3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $e^{- 3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 (e^{- 3 x} e^{3 x}) x^{2}$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{- 3 x + 3 x} x^{2}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $- 3 x$ dan $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{0} x^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{2}$

Langkah 2.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{2}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 x^{2}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 3 x^{2}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x} y = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 3 \int x^{2} d x$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 6.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x} y = 1 x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$e^{3 x} y = x^{3} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{3 x} y = x^{3} + C$ dengan $e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x} y = x^{3} + C$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$