Kalkulus Contoh

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Langkah 1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = 3$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y - 2$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y - 2$ untuk $M$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Langkah 4.3.2

Substitusikan $y - 2$ untuk $M$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Langkah 5.2

Biarkan $u = y - 2$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = y - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Langkah 5.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 5.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 5.2.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Langkah 5.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $2 \ln (| y - 2 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y - 2 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali ${(y - 2)}^{2}$ sebagai $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Langkah 5.6.5

Perluas $(y - 2) (y - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.5.1

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Langkah 5.6.5.2

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Langkah 5.6.5.3

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Langkah 5.6.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Langkah 5.6.6.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Langkah 5.6.6.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Langkah 5.6.6.2

Kurangi $2 y$ dengan $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ dengan faktor integral $y^{2} - 4 y + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y - 2$ dengan $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.2

Perluas $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Pindahkan $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.3.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.6

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.4

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.5

Tambahkan $4 y$ dan $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $3 x - y$ dengan $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Langkah 6.7

Perluas $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.4

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.4.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.4.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.6

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.6.1

Pindahkan $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.6.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.8.8

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 6 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.6

Karena $12$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $12 y$ terhadap $y$ adalah $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.8

Karena $- 8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 8$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.9

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.10

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.3.11

Tambahkan $3 y^{2} - 12 y + 12$ dan $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.5.2.2

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $12 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Langkah 12.1.3

Kurangkan $12 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Langkah 12.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Langkah 12.1.4.2

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Langkah 12.1.4.3

Tambahkan $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Langkah 12.1.4.4

Tambahkan $- 12 x y$ dan $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Langkah 12.1.4.5

Tambahkan $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Langkah 12.1.4.6

Kurangi $12 x$ dengan $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Langkah 12.1.4.7

Tambahkan $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Langkah 13

Temukan $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Langkah 13.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Langkah 13.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Langkah 13.6

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Langkah 13.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Langkah 13.8

Karena $- 4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Langkah 13.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.10

Sederhanakan.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 13.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Langkah 13.11.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Langkah 13.11.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Langkah 13.11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 13.11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 13.11.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Langkah 13.11.3.2.4

Bagilah $- 2 y^{2}$ dengan $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 13.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.1

Susun kembali suku-suku.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 13.12.2

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $y^{4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$