Kalkulus Contoh

$\frac{2 d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$2 \frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{x + 1}{x}$

Langkah 1.5

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 3.5.4.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 3.5.4.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 3.5.4.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Langkah 4.3

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$