Kalkulus Contoh

$2 x y d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- (1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Langkah 3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Langkah 3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ dan $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Langkah 5.2

Kurangkan $\ln (| 1 + x^{2} |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Bagilah $\ln (| y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{1}$

Langkah 5.3.3.1.4

Bagilah $\ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| 1 + x^{2} |)$

Langkah 5.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - C$

Langkah 5.5

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$

Langkah 5.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- C}$

Langkah 5.7

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Langkah 5.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$

Langkah 5.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| 1 + x^{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.8.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Langkah 5.8.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | 1 + x^{2} |$