Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 \ln (x)}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{3})}$

Langkah 1.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{3}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x$ .

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Langkah 6.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Langkah 6.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 6.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 6.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Langkah 6.4.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Langkah 6.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 6.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Tulis kembali $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (x)$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.2

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{2}$ dan $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Langkah 6.6.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Langkah 6.6.4

Susun kembali suku-suku.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Langkah 7.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Langkah 7.2

Bagi setiap suku pada $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (x)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.4.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.4.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.5

Kalikan $\frac{- 1}{4}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 7.2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$