Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = x + 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1$

Langkah 2.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x}$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

Langkah 6.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Tambahkan $- e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} + 0 + C$

Langkah 6.5.2.2

Tambahkan $x e^{x}$ dan $0$ .

$e^{x} y = x e^{x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = x e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = x e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$y = x + \frac{C}{e^{x}}$