Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Langkah 1

Asumsikan $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Langkah 2

Periksa apakah fungsinya kontinu di sekitar $(3, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan nilai $(3, 1)$ ke dalam $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Langkah 2.1.2

Substitusikan $1$ untuk $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Langkah 2.1.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 2.2

Karena tidak ada log dengan argumen negatif atau nol, tidak ada akar genap dengan bilangan nol atau negatif di bawah akar, dan tidak ada pecahan dengan penyebut bernilai nol, fungsinya kontinu pada interval terbuka di sekitar $x$ untuk setiap nilai $(3, 1)$ .

Kontinu

Langkah 3

Tentukan turunan parsial terhadap $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis turunan parsial.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Langkah 3.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - y}$ sebagai ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.8.3

Pindahkan ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 3.10

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 3.11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 3.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Langkah 3.14.2

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.14.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Periksa apakah turunan parsial terhadap $y$ kontinu di sekitar $(3, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ubah eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Langkah 4.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $(3, 1)$ ke dalam $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Langkah 4.2.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Langkah 4.2.3

Substitusikan $3$ untuk $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Langkah 4.3

Kontinu

Langkah 5

Fungsi dan turunan parsialnya terhadap $y$ kontinu pada interval terbuka di sekitar $x$ untuk setiap nilai $(3, 1)$ .

Satu penyelesaian unik