Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2}{3 y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 2}{3 y^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 2}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 2}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2}{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 2}{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 2}{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2} + 2 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x^{2} d x + \int 2 d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 d x)$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 x + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + 2 x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (2 x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (2 x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Kalikan $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} x + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.4.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.5.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.5.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{9} + 3 \frac{2 x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3 (3)} + 3 \frac{2 x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3 \cdot 3} + 3 \frac{2 x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{2 x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{2 x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + 2 x + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + 2 x + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $2 x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + 2 x \cdot \frac{3}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $2 x$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 2 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + 2 x \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $2 x \cdot 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (2 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x (2 \cdot 3)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 2 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.4

Untuk menuliskan $3 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + 3 K \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Gabungkan $3 K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + \frac{3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 6) + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 6 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 6 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 6 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x \cdot 6 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 6 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.6.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 6 x + 9 K}{3}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 6 x + 9 K}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Langkah 3.4.8

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.9.2

Naikkan $\sqrt[3]{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.9.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.9.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Langkah 3.4.9.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.9.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.9.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.9.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.9.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.9.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Langkah 3.4.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.10.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Langkah 3.4.10.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 6 x + 9 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Langkah 3.4.11

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 6 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$

Langkah 3.4.11.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 6 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 6 x + 9 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 6 x + K)}}{3}$