Kalkulus Contoh

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Langkah 2.3.3

Karena $2 t - 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 t - 1$ keluar dari integral.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ dengan $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Langkah 3.3.2.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.8

Gabungkan $x^{2} t$ dan $- \frac{x^{2}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.8.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.8.2

Untuk menuliskan $t x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.8.3

Gabungkan $t x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.9.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.9.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.9.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.9.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.2.9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.3

Untuk menuliskan $6 e^{2 t} t x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Gabungkan $6 e^{2 t} t x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.5.6

Sederhanakan setiap suku.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Langkah 3.3.6

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.3.1.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Langkah 3.3.8.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Langkah 3.3.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Langkah 3.3.10

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Langkah 3.3.11

Kalikan $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ dengan $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$