Kalkulus Contoh

$3 y (x^{2} - 1) d x + (x^{3} + 8 y - 3 x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y (x^{2} - 1)]$

Langkah 1.2

Karena $3 (x^{2} - 1)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y (x^{2} - 1)$ terhadap $y$ adalah $3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1)$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Langkah 1.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} - 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{3} + 8 y - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 y - 3 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 8 y - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.2.3

Karena $8 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3$

Langkah 2.4

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} - 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2} - 3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2} - 3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y (x^{2} - 1) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = 3 y (\int x^{2} d x + \int - 1 d x)$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x)$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C)$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C - x + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 (\frac{x^{3}}{3} - x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)$ terhadap $y$ adalah $3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5.2.2.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 8.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $3 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 0 + 3 x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $8 y - 3 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 3 x$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $- 3 x$ dan $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $8 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y$

Langkah 10

Temukan $8 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 8 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 8 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 8 y d y$

Langkah 10.3

Karena $8$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$g (y) = 8 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{8}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{4}{1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$g (y) = 4 y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 y$ .

$f (x, y) = 3 (y) \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 \cdot - 1 y x + 4 y^{2} + C$

Langkah 12.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 y x + 4 y^{2} + C$