Kalkulus Contoh

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $x + 1$ dari $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.2.3.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 3.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 3.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 3.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 3.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 3.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 3.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 3.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 3.3.5

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 3.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 3.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Langkah 3.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 4.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 4.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 4.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$