Kalkulus Contoh

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $e^{x} e^{y} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $e^{- 2 y}$ dan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{- 2 y}$ dan $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.3.2.4

Bagilah $e^{- 3 y}$ dengan $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{e^{y}}$ ke dalam pembilangnya.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Langkah 3.6

Kalikan $e^{x - y}$ dengan $e^{y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Langkah 3.6.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - y + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Langkah 3.6.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u = - 3 y$ . Kemudian $d u = - 3 d y$ sehingga $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u = - 3 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Langkah 4.2.2.1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $y$ adalah $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.5.2

Kalikan $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ dengan $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.8

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.2.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $3 (- e^{x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Langkah 5.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Langkah 5.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Perluas $\ln (e^{- 3 y})$ dengan memindahkan $- 3 y$ ke luar logaritma.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Langkah 5.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Langkah 5.4.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$