Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis kembali $- 1 \cos (x)$ sebagai $- \cos (x)$ .

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Langkah 2.2.1.3

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

Langkah 2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

Langkah 2.2.1.5

Kalikan $\cot (x)$ dengan $1$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sin (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Langkah 7.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Langkah 7.4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Langkah 7.5

Tulis kembali $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ sebagai $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $\sin (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Pisahkan pecahan.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.6

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

Langkah 8.3.1.7

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$