Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\sqrt{y} - y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{\frac{1}{2}} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2.1.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2.1.2.3

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2.1.2.4

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y} - y}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} - y}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}$

Langkah 1.2.2.2.2

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.2.2.3

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $\sqrt{y} - y$ dengan $\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(\sqrt{y} - y) (x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}))}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.4.2

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.4.2.2

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.4.2.3

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.2.6

Tulis kembali pernyataannya.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2.7

Batalkan faktor persekutuan.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2.8

Bagilah $x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$ dengan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.2.9

Terapkan sifat distributif.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.10

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.11

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.11.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}$

Langkah 1.2.11.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.2.11.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{1}$

Langkah 1.2.12

Sederhanakan $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(\sqrt{y} - y) d y = (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \sqrt{y} - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \sqrt{y} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - \int y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \int x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + K$