Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 7 x e^{y}$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (7 x e^{y})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{y}} (x e^{y})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{y}} (e^{y} x)$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{y}} (e^{y} x)$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{y}} d y = 7 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int e^{u} d u = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- e^{u} + C_{1} = \int 7 x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 7 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$- e^{- y} + C_{1} = 7 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- e^{- y} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- e^{- y} = \frac{7}{2} x^{2} + K$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- e^{- y} = \frac{7}{2} x^{2} + K$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{7}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{7}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $e^{- y}$ dengan $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{7}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{7}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{7}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\frac{7}{2} x^{2})$ sebagai $- (\frac{7}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{7}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Gabungkan $\frac{7}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{7 x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

Langkah 3.1.3.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot K$ sebagai $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{7 x^{2}}{2} - K$

Langkah 3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $\ln (e^{- y})$ dengan memindahkan $- y$ ke luar logaritma.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 3.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $- y = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 3.4.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$ sebagai $- \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} - K)$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = - \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$0 = - \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K)$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ .

$- \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $- \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah $\ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K)$ dengan $1$ .

$\ln (- \frac{7 \cdot 0^{2}}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\ln (- \frac{7 \cdot 0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2.2

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$\ln (- \frac{0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\ln (- 0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\ln (0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$\ln (K) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\ln (K) = 0$

Langkah 6.3

Untuk menyelesaikan $K$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (K)} = e^{0}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $\ln (K) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = K$

Langkah 6.5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $K = e^{0}$ .

$K = e^{0}$

Langkah 6.5.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$K = 1$

Langkah 7

Substitusikan $1$ untuk $K$ dalam $y = - \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} + K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1$ untuk $K$ .

$y = - \ln (- \frac{7 x^{2}}{2} + 1)$