Kalkulus Contoh

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{e^{y}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.1.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.1.2.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.4.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 4.2.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.2.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.8

Tulis kembali $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ sebagai $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.2.10

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Langkah 4.3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Langkah 4.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Langkah 4.3.8

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$