Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - x^{2} y^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik Bernoulli.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $\frac{2 y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = - x^{2} y^{2}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = - x^{2} y^{2}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = - x^{2} y^{2}$

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 5

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 6

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = - x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{2}{x} v^{- 1} = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{x} v^{- 1} = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{x} v^{- 1} = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.1.2

Faktorkan $v^{2}$ dari $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.4

Kalikan $v^{- 1}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.4.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.4.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.5

Sederhanakan $- \frac{2}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.6

Gabungkan $v$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.8

Kalikan $- \frac{2 v}{x} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{2 v}{x} = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.2.1.8.2

Kalikan $\frac{2 v}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} v^{- 2} (- v^{2})$

Langkah 7.1.1.3.2

Kalikan $v^{- 2}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Langkah 7.1.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Langkah 7.1.1.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} v^{0} \cdot - 1$

Langkah 7.1.1.3.3

Sederhanakan $- x^{2} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = - x^{2} \cdot - 1$

Langkah 7.1.1.3.4

Kalikan $- x^{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 1 x^{2}$

Langkah 7.1.1.3.4.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = x^{2}$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $v$ dari $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = x^{2}$

Langkah 7.1.3

Susun kembali $v$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = x^{2}$

Langkah 7.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 7.2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 7.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 7.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 7.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 7.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} x^{2}$

Langkah 7.3.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2 + 2}$

Langkah 7.3.3.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{4}$

Langkah 7.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = x^{4}$

Langkah 7.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int x^{4} d x$

Langkah 7.6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} v = \int x^{4} d x$

Langkah 7.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} v = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 7.8

Bagi setiap suku pada $x^{2} v = \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} v = \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$v = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$v = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{5} x^{3}$ dengan $1$ .

$v = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{3}$ .

$v = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8

Substitusikan $y^{- 1}$ untuk $v$ .

$y^{- 1} = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$