Kalkulus Contoh

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 3 y - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $y$ adalah $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 y - 3$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y - 3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y - 3 = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y - 3 = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y - 3$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 y - 3$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 y - 3$ untuk $N$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $2 y - 3$ dan $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2} - 3 y - x$ dengan $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 y - 3$ dengan $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

Langkah 8.2

Karena $2 e^{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 e^{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Langkah 8.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{x} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $- 3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 e^{x} y$ terhadap $x$ adalah $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 11.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $y^{2} e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $3 y e^{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $y^{2} e^{x}$ dengan $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

Langkah 12.1.3.3

Tambahkan $- 3 y e^{x}$ dan $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

Langkah 12.1.3.4

Tambahkan $- x e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

Langkah 13

Temukan $- x e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Langkah 13.5

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Langkah 13.6

Sederhanakan.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

Langkah 15.1.2

Kalikan $- - e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

Langkah 15.1.2.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$