Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

Langkah 1.2.2

Pindahkan $y^{- 2}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

Langkah 1.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

Langkah 1.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

Langkah 1.2.3.3

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $y^{- 2}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $3 (- \frac{e^{x}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{e^{x}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $3$ dari $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $- \frac{3 e^{x}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt[3]{4}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.8.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Langkah 3.4.8.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ sebagai $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{4}$ sebagai $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.8.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.8.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.8.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.8.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Langkah 3.4.8.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Langkah 3.4.9.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Langkah 3.4.9.3

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.3.1

Faktorkan $8$ dari $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Langkah 3.4.9.3.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Langkah 3.4.9.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Langkah 3.4.9.5

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Langkah 3.4.9.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

Langkah 3.4.10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$