Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6.1.1.2

Sederhanakan $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Langkah 6.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Langkah 6.1.1.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Langkah 6.1.1.3

Kurangkan $\frac{x}{v}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Langkah 6.1.1.4

Bagi setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.2.2

Bagilah $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ sebagai $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.4

Bagilah $\frac{x}{v}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Langkah 6.1.1.5

Kalikan kedua ruas dengan $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1

Sederhanakan $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{v^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.1

Faktorkan $v$ dari $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Langkah 6.1.1.6.2.1.4

Sederhanakan dengan saling menukar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.4.1

Susun kembali $x$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Langkah 6.1.1.6.2.1.4.2

Susun kembali $- x$ dan $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $x$ dari $v x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Langkah 6.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Langkah 6.1.2.3

Faktorkan $x$ dari $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Langkah 6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Faktorkan $v - 1$ dari $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Langkah 6.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Langkah 6.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u = v - 1$ . Kemudian $d u = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u = v - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Diferensialkan $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $v - 1$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $- 1$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 6.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 6.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 6.3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 6.3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 6.3.3.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Langkah 6.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Langkah 6.4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Langkah 6.4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 1}$ untuk $v$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$