Kalkulus Contoh

$(1 + y) d x - (1 - x) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- (1 - x) d y = - (1 + y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $1 + y$ dari $(1 - x) (1 + y)$ .

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - x$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Langkah 5.2

Tambahkan $\ln (| 1 - x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Bagilah $\ln (| 1 + y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

Langkah 5.3.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ sebagai $- \ln (| 1 - x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

Langkah 5.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

Langkah 5.5

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = - C$

Langkah 5.6

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = - C$

Langkah 5.7

Perluas $(1 + y) (1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = - C$

Langkah 5.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = - C$

Langkah 5.7.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Langkah 5.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Langkah 5.8.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Langkah 5.8.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = - C$

Langkah 5.8.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$

Langkah 5.9

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{- C}$

Langkah 5.10

Tulis kembali $\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 1 - x + y - y x |$

Langkah 5.11

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$

Langkah 5.11.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{- C}$

Langkah 5.11.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x + y - y x = \pm e^{- C} - 1$

Langkah 5.11.3.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Langkah 5.11.4

Faktorkan $y$ dari $y - y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Langkah 5.11.4.2

Faktorkan $y$ dari $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Langkah 5.11.4.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Langkah 5.11.5

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Langkah 5.11.6

Bagi setiap suku pada $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ dengan $1 - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.1

Bagilah setiap suku di $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ dengan $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.11.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.11.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.11.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.11.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.11.6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$