Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} + x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Kalikan $y^{2}$ dengan $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Langkah 1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y - 1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{y^{2}}{y - 1}$ dengan $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y - 1$ dari $(y - 1) x^{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Kalikan $(y - 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $y$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.1.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali $- 1 y^{- 2}$ sebagai $- y^{- 2}$ .

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $y^{- 1}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Sederhanakan.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.8.2.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.9

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Kalikan $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Langkah 2.3.3.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$