Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 4

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + e^{V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Langkah 5.1.1.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Langkah 5.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Langkah 5.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Langkah 5.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 5.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{V}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{V})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 V$ sebagai $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- V}$ dengan $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2

Biarkan $u = - V$ . Kemudian $d u = - d V$ sehingga $- d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Biarkan $u = - V$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Diferensialkan $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $- V$ terhadap $V$ adalah $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Langkah 5.2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 5.2.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 5.2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.5

Sederhanakan.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Langkah 5.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagi setiap suku pada $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Bagilah setiap suku di $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.3.1.2.2

Bagilah $e^{- V}$ dengan $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Langkah 5.3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Langkah 5.3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Perluas $\ln (e^{- V})$ dengan memindahkan $- V$ ke luar logaritma.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.3.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Langkah 5.3.4.2.2

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.3.4.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ sebagai $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 5.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$