Kalkulus Contoh

$y (2 x y + 1) d x - x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (2 x y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y + 1)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = 2 x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y + 1] + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x + 0) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot y x + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y x + (2 x y + 1) \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Kalikan $2 x y + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y x + 2 x y + 1$

Langkah 1.4

Tambahkan $2 y x$ dan $2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x y + 1$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 x y$ dan $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 x y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y + 1 = - 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 x y + 1 = - 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $4 x y + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y (2 x y + 1)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y (2 x y + 1)$ untuk $M$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 - (4 x y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Susun kembali $- 1$ dan $- (4 x y + 1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $4 x y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 x y$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{y (2 x y + 1)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $y (2 x y + 1)$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y (2 x y + 1) d x - x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y (2 x y + 1)$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x y + 1) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 x y + 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - x d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $- x$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{1}{y^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Langkah 8.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Langkah 8.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Langkah 8.4

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Langkah 8.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Langkah 8.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Langkah 8.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Langkah 8.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tulis kembali $- x (- y^{- 1} + C)$ sebagai $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Langkah 8.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Langkah 8.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Langkah 8.7.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $\frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.3.3

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{2 x y + 1}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{2 x y + 1}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (2 x y + 1)}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (2 x y) - 1 \cdot 1}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 2 (x y) - 1 \cdot 1}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 2 x y - 1}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $1 - 2 x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y + 0}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- 2 x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Bagilah $- 2 x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Langkah 13

Temukan $2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Langkah 13.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + x^{2} + C$