Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{5 x}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

Langkah 1.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $5 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Langkah 1.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Langkah 1.3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\ln (| x |)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\ln (| x |)}{5}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Langkah 3.3

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali $\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ sebagai $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ dengan memindahkan $\frac{1}{5}$ ke dalam logaritma.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

Langkah 3.5.3

Kalikan eksponen dalam ${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

Langkah 3.5.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Langkah 3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Langkah 3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Langkah 3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$