Kalkulus Contoh

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

Langkah 1.3

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Langkah 1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Langkah 1.4.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Langkah 1.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.6

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.8

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.10

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $2 y + 2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x + y$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Biarkan $u = x + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Diferensialkan $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 5.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 5.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 5.1.1.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{3}$ dan $g (y) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.9

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.3.10.2

Bagilah ${(x + y)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangkan ${(x + y)}^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

Langkah 10

Temukan $2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.4

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 x$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.8

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

Langkah 10.10

Biarkan $u = x + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1

Biarkan $u = x + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1.1

Diferensialkan $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 10.10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 10.10.1.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 10.10.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 10.10.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 10.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

Langkah 10.11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 10.12

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

Langkah 10.13

Sederhanakan.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

Langkah 10.14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

Langkah 10.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.15.1

Susun kembali suku-suku.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

Langkah 10.15.2

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Langkah 12

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangi $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ dengan $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

Langkah 12.2

Tambahkan $x y^{2} + x^{2} y - y$ dan $0$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$