Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C_{1}}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Langkah 3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Susun kembali $e^{x}$ dan $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ dengan $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Langkah 7.4.3

Susun kembali $e^{x}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Langkah 7.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Langkah 7.6

Ketika menyelesaikan $\int e^{x} \cos (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Langkah 7.7

Tulis kembali $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ sebagai $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.1.1.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.1.1.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.2

Faktorkan $\frac{e^{x}}{2}$ dari $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 10

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Langkah 11

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.3

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.5

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.6

Karena $C_{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 11.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 11.3.7.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 11.3.7.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Langkah 11.3.7.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Langkah 11.3.8

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 11.3.8.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.3.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 11.3.8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 11.3.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Langkah 11.3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Langkah 11.3.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Langkah 11.3.11

Sederhanakan.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Langkah 11.3.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Langkah 11.3.13

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Langkah 11.3.14

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Langkah 11.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$