Kalkulus Contoh

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Langkah 1.1.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Langkah 1.1.3

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ dengan $\cos (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ dengan $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3.1.4

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3.1.6

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Langkah 1.1.3.3.1.7

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Langkah 1.2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $- y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $- y - 3$ dari $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = - y - 3$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = - y - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Langkah 3.2

Tambahkan $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Langkah 3.3.2.2

Bagilah $\ln (| - y - 3 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Langkah 3.3.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ sebagai $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Langkah 3.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Langkah 3.5

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Langkah 3.6

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Langkah 3.7

Perluas $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Langkah 3.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Langkah 3.7.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Langkah 3.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Langkah 3.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Langkah 3.10.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Langkah 3.10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Tambahkan $3 \sec (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Langkah 3.10.3.2

Tambahkan $3 \tan (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.4

Faktorkan $y$ dari $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.4.1

Faktorkan $y$ dari $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.4.2

Faktorkan $y$ dari $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.4.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.5

Tulis kembali $- 1 \sec (x)$ sebagai $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.6

Tulis kembali $- 1 \tan (x)$ sebagai $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Langkah 3.10.7

Bagi setiap suku pada $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ dengan $- \sec (x) - \tan (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.1

Bagilah setiap suku di $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ dengan $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.2

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1.5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.1.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Langkah 3.10.7.3.1.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Langkah 3.10.7.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.2

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.10.7.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$