Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Kalikan $v^{\frac{1}{2}}$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.11.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.14

Pindahkan $v^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.15

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Langkah 4.16

Gabungkan $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ dan $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Langkah 4.17

Tulis kembali $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ sebagai hasil kali.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Langkah 4.18

Kalikan $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Langkah 4.19

Naikkan $v$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.22

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 4.23

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- \frac{1}{2}}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ dengan $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ dengan $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.2

Faktorkan $2 v^{\frac{3}{2}}$ dari $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5

Kalikan $v^{- \frac{1}{2}}$ dengan $v^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.5.1

Pindahkan $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.6

Sederhanakan $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.2

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4

Kalikan $v^{- \frac{3}{2}}$ dengan $v^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1

Pindahkan $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 6.1.3.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.4

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.5

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Langkah 6.1.3.5

Sederhanakan $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 2 d x}$

Langkah 6.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 2 x + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Langkah 6.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Langkah 6.7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.7.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.7.3.3

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 6.7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 6.7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 6.7.5.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 6.7.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.7.7

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.7.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.7.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 6.7.7.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 6.7.7.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 6.7.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Langkah 6.7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Langkah 6.7.8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 6.7.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Langkah 6.7.10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Langkah 6.7.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7.11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7.12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 6.7.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.13.1

Tulis kembali $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 6.7.13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 6.7.13.2.2

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 6.7.13.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Langkah 6.7.14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.4

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.15.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 6.7.15.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 6.7.15.5.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 6.7.15.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 6.7.15.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.6.2

Kalikan $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.6.2.2

Kalikan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.7

Gabungkan $e^{- 2 x} x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.7.1

Susun kembali $e^{- 2 x}$ dan $x$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.7.2

Untuk menuliskan $x e^{- 2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.7.3

Gabungkan $x e^{- 2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.8.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.8.1.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.15.8.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Langkah 6.7.15.8.1.3

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Langkah 6.7.15.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Langkah 6.8

Bagi setiap suku pada $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ dengan $e^{- 2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ dengan $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.3

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.4

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{- 2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.7

Gabungkan $e^{- 2 x} x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.7.1

Susun kembali $e^{- 2 x}$ dan $x$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.7.2

Untuk menuliskan $x e^{- 2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.7.3

Gabungkan $x e^{- 2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.8.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.8.1.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.8.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.8.1.3

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.2.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.3

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.4.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.5.3

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.5.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ .

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Langkah 6.8.3.8

Kalikan $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ dengan $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 2}$ untuk $v$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$