Kalkulus Contoh

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y e^{\frac{y}{x}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Langkah 1.3.7

Gabungkan $e^{\frac{y}{x}}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Gabungkan $y$ dan $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Langkah 1.3.9

Kalikan $e^{\frac{y}{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x e^{\frac{y}{x}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan $e^{\frac{y}{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Langkah 2.11.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2.11.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Gabungkan $e^{\frac{y}{x}}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2.11.3.2

Gabungkan $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2.11.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2.11.3.4

Kalikan $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 2.11.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- x e^{\frac{y}{x}}$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- x e^{\frac{y}{x}}$ untuk $N$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- - e^{\frac{y}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $e^{\frac{y}{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ dengan $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan $0$ dan $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.2.5

Tambahkan $e^{\frac{y}{x}}$ dan $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\frac{y}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- x}$

Langkah 4.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x + y e^{\frac{y}{x}}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x + y e^{\frac{y}{x}}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- x e^{\frac{y}{x}}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Langkah 6.6

Tulis kembali $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ sebagai $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Langkah 8.2

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

Langkah 8.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

Langkah 8.4

Biarkan $u = \frac{y}{x}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d y$ sehingga $x d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Biarkan $u = \frac{y}{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Diferensialkan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 8.4.1.2

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 8.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 8.4.1.4

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 8.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

Langkah 8.5.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

Langkah 8.6

Karena $x$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Langkah 8.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Langkah 8.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

Langkah 8.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

Langkah 8.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

Langkah 8.9

Sederhanakan.

$f (x, y) = - e^{u} + C$

Langkah 8.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{\frac{y}{x}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{y}{x}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.4

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $e^{\frac{y}{x}}$ dengan $1$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.2.2

Gabungkan $e^{\frac{y}{x}}$ dan $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Kurangi $y e^{\frac{y}{x}}$ dengan $y e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 13

Temukan $\frac{1}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$