Kalkulus Contoh

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y t + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3

Karena $2 y t$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y t$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $2 y$ dengan $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 y t + 1$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $2 y t + 1$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 11.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Langkah 12.3

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Langkah 12.4

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Langkah 12.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Langkah 12.5

Perluas $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Terapkan sifat distributif.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Langkah 12.5.2

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Langkah 12.6

Kalikan $y$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Langkah 12.6.2

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Langkah 12.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Langkah 12.6.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Langkah 12.7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Langkah 12.8

Karena $2 t$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 t$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Langkah 12.9

Integral dari $y^{- 1}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Langkah 12.10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Langkah 12.11

Sederhanakan.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Langkah 14

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Langkah 14.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$