Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Untuk menuliskan $y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.2.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3.4.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ dengan $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Kemudian $d u = 3 y^{2} d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = 1 + y$ dan $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - y + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.2.1.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.2.2.1.3.9

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.2.2.1.3.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.3.12

Kalikan $1 - y + y^{2}$ dengan $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.5

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.6

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.9

Tambahkan $- y$ dan $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.10

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.11

Tambahkan $y + 2 y^{2}$ dan $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.12

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.13

Tambahkan $2 y^{2}$ dan $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Langkah 2.2.2.1.4.4.14

Tambahkan $2 y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Perluas $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.2

Kalikan $- y$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.6

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1.6.1

Pindahkan $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.6.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.7

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1.7.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.1.7.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.2.1.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.1.2

Tambahkan $1 + y^{2}$ dan $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.1.3

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Langkah 3.5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{3 x + C}$ sebagai $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{3 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$