Kalkulus Contoh

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Langkah 1

Biarkan $v = y^{3}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Langkah 3.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Langkah 4

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $v$ dari $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Langkah 4.2

Susun kembali $v$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Langkah 5

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 5.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 5.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 6

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Langkah 6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Langkah 6.3

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Langkah 6.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Langkah 7

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Langkah 8

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Langkah 9

Integralkan sisi kiri.

$x v = \int x^{5} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Langkah 11

Bagi setiap suku pada $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Bagilah setiap suku di $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{6}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.1.2.5

Bagilah $\frac{1}{6} x^{5}$ dengan $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Langkah 11.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Langkah 13

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Langkah 13.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Untuk menuliskan $\frac{x^{5}}{6}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Langkah 13.2.2

Untuk menuliskan $\frac{C}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Langkah 13.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6 x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Kalikan $\frac{x^{5}}{6}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Langkah 13.2.3.2

Kalikan $\frac{C}{x}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Langkah 13.2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Langkah 13.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Langkah 13.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1

Kalikan $x^{5}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1.1

Kalikan $x^{5}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Langkah 13.2.5.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Langkah 13.2.5.1.2

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Langkah 13.2.5.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Langkah 13.2.6

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Langkah 13.2.7

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Langkah 13.2.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Langkah 13.2.8.2

Naikkan $\sqrt[3]{6 x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Langkah 13.2.8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Langkah 13.2.8.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Langkah 13.2.8.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ sebagai $6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.8.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{6 x}$ sebagai ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 13.2.8.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 13.2.8.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 13.2.8.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.8.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 13.2.8.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Langkah 13.2.8.5.5

Sederhanakan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Langkah 13.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.9.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Langkah 13.2.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Langkah 13.2.9.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Langkah 13.2.10

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Langkah 13.2.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Langkah 14

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$