Kalkulus Contoh

$x y^{2} d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x y^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{x} d y = - x y^{2} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{2})} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{e^{x} y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (x y^{2}) d x$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Langkah 3.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{- 1}{e^{x}}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 4.3.2.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- x} d x$

Langkah 4.3.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.6

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.3.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 4.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Langkah 4.3.9

Tulis kembali $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ sebagai $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 4.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.3.11.2

Kalikan $- (- x e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.3.11.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.3.11.3

Kalikan $- - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.3.11.3.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.3.12

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Langkah 5.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$ .

$x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y$ dari $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y e^{- x} + K y = - 1$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + K y = - 1$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + y K = - 1$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $y$ dari $y (x e^{- x}) + y (e^{- x})$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K = - 1$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $y$ dari $y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ dengan $x e^{- x} + e^{- x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ dengan $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$