Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{x - y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Langkah 5

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d v}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Langkah 5.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 + 6 x v - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Langkah 5.1.1.2.2

Tambahkan $6 x v$ dan $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Langkah 5.1.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Langkah 5.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Langkah 5.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Langkah 5.1.2.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (6 x v)$ sebagai $- (6 x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Langkah 5.1.2.3.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Langkah 5.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Langkah 5.1.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Langkah 5.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Kalikan $v$ dengan $v$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1.1

Pindahkan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Langkah 5.1.4.2.1.2

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Langkah 5.3.2

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $v^{2}$ dari $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Langkah 5.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Langkah 6

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Langkah 6.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Pindahkan $v^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Langkah 6.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Langkah 6.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $v^{- 2}$ terhadap $v$ adalah $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali $- v^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Langkah 6.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Langkah 6.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Tulis kembali $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.3.3.2.2.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Langkah 7

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$v, 1, 1$

Langkah 7.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$v$

Langkah 7.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ dengan $v$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ dengan $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Langkah 7.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ .

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $v$ dari $- 3 x^{2} v + K v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $v$ dari $- 3 x^{2} v$ .

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Langkah 7.3.2.2

Faktorkan $v$ dari $K v$ .

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Langkah 7.3.2.3

Faktorkan $v$ dari $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ .

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Langkah 7.3.3

Bagi setiap suku pada $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ dengan $- 3 x^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Bagilah setiap suku di $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ dengan $- 3 x^{2} + K$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Langkah 7.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3 x^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Langkah 7.3.3.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Langkah 7.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Langkah 7.3.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Langkah 7.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Langkah 7.3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Langkah 7.3.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.3.5.1

Tulis kembali $- (3 x^{2} - K)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - K)$ .

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Langkah 7.3.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Langkah 7.3.3.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Langkah 7.3.3.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ dengan $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Langkah 8

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Langkah 10.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Perluas $\ln (e^{x - y})$ dengan memindahkan $x - y$ ke luar logaritma.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Langkah 10.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Langkah 10.2.3

Kalikan $x - y$ dengan $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Langkah 10.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Langkah 10.4

Bagi setiap suku pada $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Langkah 10.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Langkah 10.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Langkah 10.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Langkah 10.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ sebagai $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Langkah 10.4.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Langkah 10.4.3.1.4

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$