Kalkulus Contoh

$(4 x^{3} y^{3} - 2 x y) d x + (3 x^{4} y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3} - 2 x y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x^{3} y^{3}$ terhadap $y$ adalah $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $y$ adalah $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2} - x^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - (2 x)$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - 2 x$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} - 2 x y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Langkah 5.2

Karena $4 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4 y^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x y d x$

Langkah 5.4

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y \int x d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 4 \cdot \frac{1}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.6

Gabungkan $y$ dan $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- 2 x^{2})}{2} + C$

Langkah 5.7.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.7.1

Faktorkan $2$ dari $y (- 2 x^{2})$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2} + C$

Langkah 5.7.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Langkah 5.7.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 5.7.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- x^{2})}{1} + C$

Langkah 5.7.7.2.4

Bagilah $y (- x^{2})$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x^{4}$ terhadap $y$ adalah $x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{4} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$3 x^{4} y^{2} + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y (- x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y (- x^{2})$ terhadap $y$ adalah $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $3 x^{4} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} + 0 - 3 x^{4} y^{2}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $3 x^{4} y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $3 x^{4} y^{2}$ dengan $3 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Langkah 12

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - y x^{2} + C$