Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{- 3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 4}}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x^{- 4}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{- 4}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{- 4}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{- 4}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{- 4}$

Langkah 3.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{- 4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 - 4}$

Langkah 3.3.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{- 2}$

Langkah 3.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 7.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

Langkah 7.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C$ sebagai $- \frac{1}{x} + C$ .

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$