Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = 16 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = 16 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $16 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 2.3.5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 2.3.5.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.3.6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.6.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.10.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.10.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.10.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.10.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Langkah 2.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $16 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$