Kalkulus Contoh

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $3 y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $2 x + 1$ dari $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 4.3.4.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Gabungkan $\ln (| 2 x + 1 |)$ dan $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Langkah 5.1.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $- \ln (| y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.4

Gabungkan $- \ln (| y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.8

Faktorkan $- 1$ dari $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Langkah 5.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Langkah 5.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Tulis kembali $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ sebagai $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Langkah 5.10.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.11

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Sederhanakan $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.11.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.11.1.1.3

Sederhanakan $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Langkah 5.11.1.1.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Langkah 5.11.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Langkah 5.11.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.11.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.11.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.11.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.11.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.11.1.5.2

Sederhanakan.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.11.1.6

Kalikan eksponen dalam ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Langkah 5.11.1.6.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Langkah 5.12

Bagi setiap suku pada $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.12.2.2

Bagilah $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Langkah 5.12.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Langkah 5.12.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Langkah 5.13

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Langkah 5.14

Tulis kembali $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.15

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.15.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Langkah 5.15.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5.15.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.15.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.15.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5.15.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$