Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$e^{2 y} d y = 2 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int e^{2 y} d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y} = 2 (x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 y} = 2 x^{2} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{2 y})$ dengan memindahkan $2 y$ ke luar logaritma.

$2 y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + K)}{2}$