Kalkulus Contoh

$(\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}) d x + (\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \cos (y)$ dan $g (y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \cdot 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} (2 y)$

Langkah 1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 6 x^{2} y$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Langkah 2.2.2

Karena $\cos (2 y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (2 y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2 \sin (2 y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x \sin (2 y)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3} y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y (3 x^{2})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangi $2 \sin (2 y)$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Langkah 5.3

Karena $- 3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - 3 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 3}{3} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 1}{1} y^{2} x^{3} + C$

Langkah 5.6.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\cos (2 y) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \cos (y)$ dan $g (y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x (- \sin (2 y) \cdot 2) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2} x^{3}$ terhadap $y$ adalah $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 x \sin (2 y)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y)$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $2 x^{3} y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- 2 x \sin (2 y)$ dan $2 x \sin (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $\cos (2 y) - 2 x^{3} y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $- 2 x^{3} y$ dan $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $\cos (2 y)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$

Langkah 10

Temukan $\cos (2 y)$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (2 y) d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (2 y) d y$

Langkah 10.3

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 10.3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 10.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 10.4

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 10.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Langkah 10.6

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Langkah 10.7

Sederhanakan.

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Langkah 10.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \cos (2 y) - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$