Kalkulus Contoh

$\frac{d p}{d t} + 2 t p = p + 4 t - 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2 t p$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d p}{d t} = p + 4 t - 2 - 2 t p$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d p}{d t} = - 2 p t + p + 4 t - 2$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 p t + p) + 4 t - 2$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d p}{d t} = p (- 2 t + 1) - 2 (- 2 t + 1)$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 2 t + 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (- 2 t + 1) (p - 2)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{p - 2}$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((- 2 t + 1) (p - 2))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $p - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $p - 2$ dari $(- 2 t + 1) (p - 2)$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = - 2 t + 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{p - 2} d p = (- 2 t + 1) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{p - 2} d p = \int - 2 t + 1 d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = p - 2$ . Kemudian $d u = d p$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = p - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d p}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $p - 2$ .

$\frac{d}{d p} [p - 2]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $p - 2$ terhadap $p$ adalah $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ adalah $n p^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $p$ , turunan dari $- 2$ terhadap $p$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 2 t + 1 d t$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $p - 2$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t d t + \int d t$

Langkah 2.3.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 \int t d t + \int d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - t^{2} + t + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$

Langkah 3

Selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $p$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| p - 2 |)} = e^{- t^{2} + t + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- t^{2} + t + C} = | p - 2 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$ .

$| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$p - 2 = \pm e^{- t^{2} + t + C}$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$p = \pm e^{- t^{2} + t + C} + 2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- t^{2} + t + C}$ sebagai $e^{- t^{2} + t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{- t^{2} + t} e^{C} + 2$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- t^{2} + t}$ dan $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{- t^{2} + t} + 2$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$p = C e^{- t^{2} + t} + 2$